Números inteiros e racionais, múltiplos e divisores, frações

Do zero

Números inteiros são os de contar, mais os negativos e o zero: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Pense num saldo bancário: R$ 50 positivos ou R$ 50 negativos (devendo). Números racionais são os que se escrevem como fração de inteiros, com denominador diferente de zero: 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,333… Todo inteiro também é racional (5 = 5/1).

Fração é uma pizza dividida em partes iguais. Em 3/8, o de baixo (denominador) diz em quantas fatias a pizza foi cortada (8), e o de cima (numerador), quantas você pegou (3). Por isso:

• Para somar frações, as fatias precisam ter o mesmo tamanho: primeiro iguale os denominadores.
• Para multiplicar, basta multiplicar em cima e embaixo: metade de um terço é 1/2 × 1/3 = 1/6.
• Para dividir, multiplique pelo inverso: 1/2 ÷ 1/4 = 1/2 × 4/1 = 2 (cabem duas fatias de um quarto em meia pizza).

Múltiplos e divisores respondem a duas perguntas do dia a dia:

• Quando coincide de novo? Duas rotinas, uma a cada 4 horas e outra a cada 6, voltam a rodar juntas depois de 12 horas: é o MMC (mínimo múltiplo comum).
• Qual o maior grupo igual possível? Dividir 12 canetas e 18 cadernos em kits iguais, sem sobrar nada, dá no máximo 6 kits: é o MDC (máximo divisor comum).

Frase para guardar: MMC é quando as coisas se encontram de novo; MDC é o maior pedaço que divide tudo sem sobra.

Em 1 minuto

• Ordem das operações: parênteses; potências e raízes; multiplicação e divisão, da esquerda para a direita; adição e subtração.
• Sinais: na multiplicação e na divisão, sinais iguais dão positivo, diferentes dão negativo. Atenção: −3² = −9 (a potência vale só para o 3), mas (−3)² = 9.
• Potências: a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0); aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.
• Divisibilidade: por 2, se é par; por 3, se a soma dos algarismos é múltipla de 3; por 4, se os dois últimos algarismos formam múltiplo de 4; por 5, se termina em 0 ou 5; por 9, se a soma dos algarismos é múltipla de 9; por 10, se termina em 0.
• MMC e MDC pela fatoração: decomponha em primos. MMC: todos os fatores, com o maior expoente. MDC: só os fatores comuns, com o menor expoente.
• Quantidade de divisores: fatore, some 1 a cada expoente e multiplique. 72 = 2³ · 3², então tem (3 + 1) · (2 + 1) = 12 divisores.

Exemplo concreto: backups, kits e o salário

Os backups (MMC). Três rotinas rodam a cada 4, 6 e 10 horas e rodaram juntas à 0h. Quando rodam juntas de novo?

4  = 2²
6  = 2 · 3
10 = 2 · 5
MMC = 2² · 3 · 5 = 60  →  depois de 60 horas (2 dias e 12 horas)

Os kits (MDC). O setor de TI tem 48 notebooks e 36 tablets para montar kits idênticos, com o maior número possível de kits e sem sobra.

48 = 2⁴ · 3
36 = 2² · 3²
MDC = 2² · 3 = 12 kits  →  cada um com 48 ÷ 12 = 4 notebooks e 36 ÷ 12 = 3 tablets

O salário (fração do restante). Um servidor gasta 1/3 do salário com aluguel e 1/4 do que sobrou com transporte. Restam R$ 3.000. Qual é o salário?

Depois do aluguel, sobra 2/3 do salário.
O transporte leva 1/4 dessa sobra; fica 3/4 dela.
Resta: 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2 do salário.
1/2 do salário = 3.000  →  salário = 6.000

A armadilha: somar 1/3 + 1/4 = 7/12 e achar que resta 5/12. Isso só valeria se os dois gastos fossem do salário inteiro. “Do que sobrou” muda a conta.

Comparação: operações com frações e MMC × MDC

Uma ligação útil: para dois números, MMC × MDC = produto dos números. Para 48 e 36: MDC = 12, então MMC = 48 · 36 ÷ 12 = 144.

Como a FCC cobra

• Expressões numéricas com sinais, potências e ordem das operações.
• Operações com frações e comparação entre frações.
• Critérios de divisibilidade e quantidade de divisores.
• Problemas com números inteiros (saldos, temperaturas, andares).

Pegadinhas

Explique com suas palavras

Explique a um colega quando usar MMC e quando usar MDC, com um exemplo de cada, e por que “1/4 do restante” não é o mesmo que “1/4 do total”.

1. Escreva sem olhar a lição, com frases curtas e um exemplo seu.
2. Onde travar ou precisar de jargão, há uma lacuna: releia só essa parte.
3. Compare com a explicação-modelo e reescreva o que faltou.

Sua explicação

Fica salva neste navegador.

Comparar com uma explicação-modelo

O MMC serve quando coisas que se repetem precisam coincidir: duas rotinas, uma a cada 4 horas e outra a cada 6, só voltam a rodar juntas quando passar um tempo que seja múltiplo dos dois, e o menor deles é 12 horas. O MDC serve para dividir em partes iguais do maior tamanho possível: com 12 canetas e 18 cadernos, o maior número de kits iguais sem sobra é 6, porque 6 é o maior número que divide 12 e 18.

“1/4 do restante” é um quarto do que sobrou, que é menor que o total. Se eu gasto 1/3 do salário, sobram 2/3; um quarto disso é 1/4 de 2/3, ou seja, 1/6 do salário, e não 1/4 dele.

Teste-se

Mais duas questões deste tópico estão em Questões.

Flashcards gerados

Ligação com o estudo de caso

Frações e MMC aparecem em planejamento de rotinas: janelas de backup que não podem coincidir, escalas de plantão, ciclos de manutenção. Numa discursiva, mostre a conta (a fatoração e o MMC) em vez de só o resultado: a banca pontua o raciocínio.

Fontes da lição

• Edital nº 01/2026, Anexo II, Matemática e Raciocínio Lógico (fontes/edital-01-2026.txt).
• Gelson Iezzi e outros, Fundamentos de matemática elementar (conjuntos numéricos, divisibilidade e frações).